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AI 在数学研究中的使用：年轻数学家指南

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AI 在数学研究中的使用：年轻数学家指南

原文信息

本文翻译自 MIT 数学系 Pavel Etingof 教授的指南《Use of AI in mathematical research: A guide for young mathematicians》（2026年5月）。原文链接：aiuse.pdf

在数学研究中使用 AI 既可能非常 productive（ productive），也可能非常 counterproductive（适得其反）。下面我针对初入数学研究领域的人（主要是本科生和研究生）提供一些建议。1

1. 核心原则

数学研究者对生成式 AI（ChatGPT、Claude、Gemini 等，也称为 LLM）的态度千差万别——从出于伦理原因的抵制或怀疑，到欢呼雀跃或对变得无关紧要的恐惧。但 AI 现已成为房间里的大象，无法再被忽视。

我提出以下哲学：

我们应该充分利用 AI，以便掌握更多数学。

这蕴含了在数学研究中使用 AI 的核心原则：

核心原则

你必须对你与 AI 讨论的任何内容中的数学部分保持掌控。

这意味着：如果你在论文中使用了 AI 的输出，你必须完整地检查和理解每一个细节，不留任何死角，并用自己的方式重新表述，而不是直接复制粘贴到你的写作中。你必须能够当场解释你写下的所有内容。

至少有两个理由支持这一原则：

第一，AI 模型会产生幻觉，创造出看起来正确但实际上错误且误导的内容。 虽然它们能正确解决困难的数学问题，但也可能基于荒谬的假设产生错误论证——比如”所有奇数都是素数”这种可笑的假设（通常隐含且难以察觉）。这种情况正在改善，但仍然存在，可能导致你的论文出现致命缺陷！

你要对你文章中出现的任何错误负责——无论这些错误多么隐蔽。因此你应该非常批判性地对待任何 AI 输出。即使输出大体正确，往往也很难剔除所有细微的不完美和不精确之处，并将其平滑融入你的叙述。所以自己写通常比调试 AI 生成的文本更高效可靠。

第二（也是最重要的），目的是让你学习、实践和享受数学。 如果你把这些功能全部委托给 AI，你就违背了这个目的！

2. 一般建议

2.1 模型和模式的选择

对于严肃的数学问题，最好使用强大版本的 AI。具体来说：

  • 应始终使用推理/扩展思考模式而非普通的”即时”模式
  • 要求给出详细、可验证的解决方案，包括引理、例子和可能的失败点
  • 对于最困难的问题，可能需要使用 Pro 模式（消耗更多 tokens，但结果更好）
  • 确保你的提示词表述良好——Pro 查询很昂贵！
  • 可以先用较弱模式，让 AI 把你的问题复述给你，确认它理解正确

2.2 提示技巧

使用类似这样的句子作为任何提示的前言是一个好主意：

“我是一名数学本科生/研究生，正在做关于 X 的研究”

或者将其设为默认系统提示（在给定项目中自动生效的消息）。这会告诉 AI 模型你的经验水平，帮助它更好地服务你。你还可以添加关于自己的各种信息（如你读过的书和修过的数学课程）。

添加类似”仔细检查你的答案/证明”这样的句子也可能有帮助。AI 模型天生倾向于偷懒（为了节省资源），你的任务是不让它们以你的代价这样做！

2.3 迭代

经验表明，如果你向 AI 提出一个困难的数学问题，一次尝试通常不够。你应该：

  • 仔细研究输出
  • 指出错误
  • 要求 AI 澄清或详细说明你最感兴趣的点

有用的结果往往需要多次迭代才能产生。不要只是盯着屏幕等待 AI 回应——你可以同时做其他事情，特别是你自己的数学！

2.4 LaTeX

AI 模型非常了解 LaTeX，所以你可以：

  • 向它们提出任何 LaTeX 问题
  • 让它们调试你的 LaTeX 文件
  • 要求它们以 LaTeX 文件的形式给出任何输出，方便阅读

2.5 隐私

最后但同样重要——未经所有者许可，不要将任何非公开材料上传到 AI。此外，在上传非公开数据之前，检查平台的数据控制设置和政策；例如，在公开版 ChatGPT 中，用户可以关闭”为所有人改进模型”设置，这样数据就不会用于训练。

3. 学习

学习应该贯穿整个项目：数学研究者做数学的同时也在学习数学。学习包括从书籍和论文掌握理论材料，以及做练习。虽然导师或顾问可能提供一些来源和练习，你也可以向 AI 寻求更多。例如，可以使用以下提示：

  1. “学习 Y 的最佳来源是什么？”
  2. “关于以下问题有什么已知结果？（精确表述问题）有参考文献吗？”
  3. “我正在阅读 B（上传文件），在第 N 页我对定理 Z 的证明有困难。能否更详细地解释这个证明？”
  4. “能否给我介绍 T 的基础知识并提供一些练习？”
  5. “概念 A 的动机是什么？”
  6. “P 和 Q 有什么关系？”
  7. “能否解释 R 的主要思想？”

关于练习

使用 AI 解决导师或顾问布置的练习是错误的做法。练习的设计目的是让你获得研究所需的技术技能。想象一个想跑马拉松的运动员，却用摩托车来训练！

在任何情况下，在大多数学习环境中，试图将 AI 输出作为你的练习解答通过，或者因为重写了 AI 解答却理解不足而无法解释你的解法，都构成 AI 的不当使用，将被视为违反学术诚信。

4. 研究

在研究中，只要遵循”保持掌控”原则、在论文和报告中承认任何重大 AI 贡献、并遵守隐私规则（受顾问期望、合作者同意以及期刊和机构政策约束），有很多好的方式使用 AI。具体来说，你可以使用 AI 来：

  • 创建研究问题
  • 生成数据和例子
  • 头脑风暴
  • 尝试验证命题（导向证明或反例）
  • 辅助写作和校对

以下是详细建议。

4.1 创建研究问题

你可以使用 AI 在项目内部创建研究问题。一个好的方法是：

上传项目描述、最相关的论文和你迄今为止的写作，使用类似这样的提示： “仔细阅读附件中的项目描述、论文和我的文本，提出 N 个接下来考虑的研究问题。对每个问题，解释动机、提出初步步骤、给出参考文献。”

为此，你需要使用最强大的模式（Pro），这样 AI 会思考一段时间（可能 20 分钟或更长）。虽然 AI 提出的许多问题可能不好，但其中一些可能很有趣！

然而，判断哪些问题是好的可能很困难。因此，在尝试任何这些问题之前，最好询问你的导师、顾问或该领域的其他专家。至少，在着手任何问题之前，你应该进行文献检索（可以高效地使用 AI 完成，如前所述）以确定问题是否已在文献中被解决。

4.2 头脑风暴

你也可以使用 AI 来头脑风暴推进项目的想法。可以使用类似这样的提示：

“我正在研究以下问题。（精确表述问题或附上含有表述的文件）以下是我的一些见解。（分享你自己的想法）我的哪些想法最有希望？你能建议如何推进的想法吗？你能指出这个数据中的任何模式吗？你能找到任何有用的参考文献吗？”

然后研究输出，看是否包含好的想法，可能需要如上所述多次迭代。与你的顾问或合作者讨论，然后重复。最终可能产生有用的结果！

4.3 生成数据和例子

by Andrew Sutherland

前沿模型如 Claude、Chat-GPT 或 Gemini 现在非常擅长生成数据并进行分析。在研究项目早期阶段最有用的事情之一是思考生成例子的方法——既帮助建立直觉，也作为发展和检验猜想的方式。即使非常抽象的问题往往也有特殊情况或蕴含可以具体化。在过去，搞清楚如何做这件事、编写代码、测试、优化并运行可能本身就是整个研究项目，但这现在可以由 Claude Opus 4.7 和 GPT-5.5 Pro 等模型完成。在此过程中发生的交互非常有启发意义（尝试向模型解释你想让它做什么帮助你更好地理解问题，你会沿途学到东西）。

4.4 证明与反驳

你可以使用强大版本的 AI 来证明和反驳数学命题。但需要谨慎：

重要警告

AI 模型通常擅长总结已知材料和模仿已建立的论证，但不太擅长产生真正原创的数学。当被要求做后者时，它们往往会幻觉。因此，任何声称证明或反驳一个先前状态未知的命题的 AI 输出应持极大怀疑态度。

一个危险是，你可能不是在做数学，而是陷入检查看起来流畅但实际上有 bug 的 AI 生成的论证。为了避免这种情况，与其立即阅读 AI 输出，你可以先将其输入另一个（或同一个）AI 模型并说：

“这个命题 Y 的证明是 AI 给我的。我持怀疑态度。你能检查它吗？”

很有可能，第二个 AI 模型会发现错误。然后你可以将回应反馈给第一个模型，继续迭代直到过程收敛——第一个模型承认没有证明，或两个模型都同意证明正确。在后一种情况下，你可以尝试自己检查（如果愿意，可以先让第三个 AI 模型运行）。这样可以避免浪费时间阅读低质量的 AI 输出。2

但请注意，两个或三个模型之间的协议本身并不构成正确性的有力证据，因为模型可能共享训练数据、错误风格和可信性偏见。

一如既往，如果你难以理解证明中的某一步，可以要求 AI 详细说明。但最终你应该写出自己的证明！

要求 AI 模型先（或至少与一般情况分开）计算一个例子可能有帮助。这样输出更可能有用，也更容易检查。

随着时间推移，你应该能发展出一些直觉，判断什么时候相对安全可以信任 AI，什么时候不太安全。但始终保持警惕！记住 AI 异常擅长欺骗人类！

如前一节所述，你也可以让 AI 做计算，虽然对于严肃的计算最好自己在 Mathematica、Sage 等中运行代码。但你可以让足够强大的 AI 版本（如 Claude Code）编写那段代码（可能提出算法想法，也许在与 AI 讨论后）。代码当然可能包含 bug，但你可以通过几轮迭代来调试；这可能比自己编写更快。让 AI 用注释补充代码说明每部分做了什么也是好做法；这会让你更容易检查它是否正确工作。

关于参考文献

你应该仔细检查 AI 生成的论证中使用的所有参考文献。记住 AI 可能产生不存在的参考文献，引用现有来源中不存在的命题，或误解它阅读的论文中的声明。还要记住许多文章，尤其是旧文章，在付费墙后，AI 无法访问全文。在这种情况下，它可能从摘要或其他来源对其内容做出假设，可能导致误解。你的导师或顾问应该能帮助你整理这一切。

by Andrew Sutherland

在现阶段，AI 通常更擅长反驳猜想而非证明它们，但这仍然非常有用！生成反例是其中一种方式，但更广泛地也成立，包括在形式化语境中，如 Talia Ringer 最近关于 AlphaProof 的文章指出：https://www.nature.com/articles/d41586-025-03585-5

4.5 形式化验证

by Andrew Sutherland

在可行的情况下（主要取决于你工作的主题在 MathLib 中是否有足够覆盖），可以考虑让 LLM 尝试在 Lean 中形式化和验证命题。如果命题相当简单，大多数前沿模型对 Lean 了解足够，能写出可以复制粘贴到在线验证器如 https://live.lean-lang.org/ 或 https://axle.axiommath.ai/verify_proof 的脚本。但对于更实质性的内容，给 LLM 一些额外工具有帮助（如 https://github.com/cameronfreer/lean4-skills 的”skills”文件和 https://github.com/oOo0oOo/lean-lsp-mcp 的 lean-lsp-mcp 接口）。还有第三方自动形式化器如 AlphaProof、Aristotle、AxiomProver、Gauss、Godel-Prover、Kimina-Prover 等，许多免费使用。

Remark

  1. LLM 让从未使用 Lean 或形式化定理证明器的人能够以前所未有的方式利用形式化验证。
  2. 但有一个重要警告：你需要确保 LLM 正确形式化了你关心的命题。这需要对形式化系统有一定了解（但远少于编写证明所需）。

4.6 协作 vs 委托

虽然 AI 在你的研究中可能非常有帮助，但要得到好的结果，你应该与 AI 一起思考问题（符合”保持掌控”原则），而不是只是看着 AI 为你做研究。换句话说，你应该把 AI 视为一个强大工具，或者一个（并非总是可靠的）拥有你所缺乏的知识和能力的数字合作者，共同努力充分利用它们，而不是将整个过程委托给 AI。

与问题的挣扎——可以被使用 AI 短路——是研究过程的关键部分。这是发展做出突破所需的理解和直觉的唯一途径。你经验越少，这越重要！

对于初入研究的人，好做法是：

  • 在让 AI 解决之前自己先尝试问题
  • 或者先向 AI 寻求提示而非完整解答

最终，目标不是把你和 AI 当作机器来尽可能多地输出定理，而是在推进项目的同时也给你做研究的训练和经验。如果你把一切都委托给 AI，你怎么发展自己的研究技能？

毕竟，发现新数学是这整个事业中最享受的部分。为什么要把这个乐趣外包给一个没有灵魂的聊天机器人？想象你去一家高级餐厅，却不品尝美味菜肴，而是把它们通过咀嚼机然后吞下 resulting goo（糊状物）。这会有多有趣？

5. 写作与校对

在写作阶段，你可以使用 AI 帮助 LaTeX 和图表或图片，虽然解释你想要画什么可能很困难。有时最好先在纸上手绘草图，用手机扫描，上传到 AI 并要求生成 PNG 文件或图表的 LaTeX 代码。

你也可以使用 AI 进行校对。你可以上传文本并说：

“这是我的论文。仔细阅读并指出排版错误、错误、符号不匹配、英语问题等。阅读 X.Y 节到 Z.T 节。给我评论。”

建议让 AI 每次只阅读一小部分（比如 10 页），这样质量可能更好。我一直在用这种方法校对我的文本和学生的文本，强烈推荐。当然，这不能取代传统的人工校对，但人工校对之前先做 AI 校对（然后修正）很好！

AI 模型通常擅长：

  • 发现排版错误
  • 纠正英语
  • 找到不匹配和未定义的符号

但不太擅长发现细微的数学错误，尽管偶尔也能做到。

然而，如果你想让 AI 严肃检查你的论文，你应该让它检查个别证明，并不断添加细节和澄清直到它不再发现问题。但要确保提示 AI 批判性地检查，不要为了取悦你（让它的工作轻松）而不经彻底检查就说证明正确！

同时，如前所述，将大段未经润色的 AI 输出复制粘贴到你的论文是错误做法。3 你应该真正自己写作！

还有一个理由是，AI 可能隐含地从他人的作品中复制内容而不加引用。所以如果你把这段输出复制粘贴到你的文本并以那种形式公开，这可能构成抄袭。即使你是无意的，你仍然对此负责！

因此，如果你计划使用其输出即使以改写形式，好做法是：

始终让 AI 列出它使用的来源，然后独立验证它们（在 arXiv.org、MathSciNet 等），检查是否需要引用其中任何来源。还要主动多次请求最相关的文献。

注意当被要求校对时，默认情况下某些 LLM 会倾向于自己重写你的文本，而不是给你评论。如上所述，这出于许多原因非常不可取。所以你应该向 LLM 明确：

它应该只是给你评论/修正列表，而不是尝试为你重写文本。

by Paul Seidel

虽然俗话说话时最社交的数学家看着对话者的鞋子而不是自己的，但数学实际上是一种内在的社会事业。当我们说使用 AI 的目标是”知道或理解更多数学”时，实际含义是”为数学共同体达成理解”。历史上，“问题被解决”一直意味着共同体达成了这种理解，或至少发展了一条达成理解的可达路径，没有理由这应该因 AI 的出现而改变。

AI 生成的证明就像从外星文明传给我们的启示。它缺少将其转化为”理解数学”的额外工作。因此，发表那个论证的人的工作是为共同体做那项工作，这意味着通过找到解释这些想法的方式使人们觉得有启发，将任何新想法整合到共同知识的主体中。这需要交换邮件、面对面讨论、做报告等。仅仅把证明发布到 arXiv 上什么都不做！

6. 准备演示

你可以使用 AI 准备演示幻灯片。你可以上传文本并说：

“基于这篇论文，制作并给我一个 12 分钟报告的 Beamer 文件。”

你可以在提示中添加你想覆盖什么、想在什么上花多少时间等。当然，你可能需要几次迭代，之后文件需要严肃编辑。但这可以节省时间，通过制作合理的初稿。

7. 致谢

如果你在创造性任务中使用了 AI 并在论文中使用了结果，好做法是致谢——说明你使用了哪些模型以及它们的具体角色是什么；实际上，许多期刊要求这样做。即使 AI 帮助你完成了一些证明，你将获得论文结果的全部署名权。但再次提醒，别忘了这全部署名权伴随着对内容的全部责任！4

8. 其他资源

by Andrew Sutherland

  1. 虽然现在有些过时，但在 2023 年国家科学院研讨会期间编制了一个相当详尽的 AI for Math Resources 列表，此后更新了几次。你可以在 https://docs.google.com/document/d/1kD7H4E28656ua8jOGZ934nbH2HcBLyxcRgFDduH5iQ0 找到它。
  2. 虽然没有提供具体技巧，Klowden 和 Tao 最近的文章”Mathematical methods and human thought in the age of AI”可能是有用的背景阅读，帮助你思考如何充分利用 AI 以掌握更多数学：https://arxiv.org/abs/2603.26524。

9. 有用链接

10. 负责 AI 使用的检查清单

总结一下——在学习或研究中使用 AI 前，最好问自己以下问题。

10.1 理解与责任

  • 我是否完全理解我取自 AI 输出的每一个数学命题、证明、计算或例子？
  • 我能否当场向我的顾问、导师、合作者或观众清楚地解释它？
  • 我是否检查了所有定义、假设、边缘情况和隐藏假设？
  • 我是否在使用 AI 帮助我学习和做数学，而不是用它来避免学习和做数学？

10.2 隐私与许可

  • 我是否被允许上传我给 AI 的材料？
  • 如果材料属于合作者、顾问、学生、期刊、会议或机构，我是否在需要时获得了许可？
  • 我是否检查了我使用平台的 relevant data-control 设置和隐私政策？
  • 如果材料敏感或非公开，我是否应该改用更私密的设置，如机构账户、企业账户、本地模型，或根本不用 AI？

10.3 学习与练习

  • 如果这是导师、顾问或教师布置的练习，AI 使用是否被允许？
  • 我是否在寻求提示、解释或背景，而不是外包解答？
  • 如果我使用 AI 生成的解释，我是否自己重建了论证？

10.4 研究想法与证明

  • 我是否对 AI 生成的研究问题、猜想、证明和反例持怀疑态度？
  • 我是否检查了问题或结果是否已知？
  • 我是否在适当时候与我的顾问、导师、合作者或其他专家讨论了有希望的 AI 生成的想法？
  • 如果 AI 建议证明，我是否自己验证了它，而不是依赖模型的自信？
  • 如果另一个 AI 模型也同意证明，我是否记得这仍然不能替代我自己的验证？

10.5 计算、代码和数据

  • 我是否检查了代码做了我要求它做的事？
  • 我是否在已知答案的简单例子上测试了代码？
  • 我是否检查了 off-by-one 错误、缺失情况、数值不稳定性和错误假设？
  • 如果计算对论文重要，我是否保存了足够的代码、数据和解释使其可重复？

10.6 参考文献与文献检索

  • 我是否向 AI 询问了它使用的来源？
  • 我是否进行了彻底的文献检索并检查了 AI 建议的论证或方法是否之前已出现？
  • 我是否在实际论文、书籍、MathSciNet、zbMATH、arXiv 或期刊网站上验证了 AI 建议的每一个参考文献？
  • 我是否检查了引用的来源真的包含声称的定理、定义、例子或论证？
  • 我是否确保 AI 没有发明参考文献、混淆两篇论文，或从摘要推断内容而未阅读全文？

10.7 写作

  • 我是否避免了将大量 AI 生成的文本复制粘贴到我的论文或演示中？
  • 我是否用我自己的声音重写了任何有用的 AI 生成的材料并检查其正确性？
  • 我是否确保符号、术语和风格与我的文本其余部分一致？
  • 我是否向 AI 寻求评论和修正，而不是让它默默地为我重写论文？

10.8 致谢

  • AI 是否对项目做出了实质性创造性贡献，如建议研究方向、生成例子、帮助证明、编写代码或制作图表？
  • 如果是，我是否致谢了使用哪个模型以及用于什么？
  • 我是否检查了期刊、会议、课程、机构或资助机构的 AI 政策？
  • 如果有共同作者，我们是否就 AI 使用应如何披露达成一致？

最终测试

如果我删除 AI 聊天记录，我是否仍然理解、能够重现并愿意对论文或演示中的所有内容负全部责任？

Footnotes

  1. 感谢 Jesse Geneson、Slava Gerovitch、Tanya Khovanova 和 Andrew Sutherland 的宝贵意见。本文部分受 Amazon AGI Faculty Award（授予 UMass Lowell Miner 计算机与信息科学学院的 Anna Rumshisky 教授）支持。图片由 ChatGPT 生成。 ↩

  2. 这个技巧来自 Jesse Geneson。 ↩

  3. 在研究小组内传播未经检查的 AI 输出是可以接受的，但前提是所有相关人员都清楚其未验证状态。 ↩

  4. 有些人甚至把 AI 模型作为论文的共同作者。这没有必要（且许多期刊禁止），因为 AI 的地位不同——不像人类作者，它不对内容的正确性和原创性负责。但详细解释 AI 做了什么是非常建议的。 ↩

关系图谱

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