纽结的 Unknotting Number

本文是 纽结理论导览 系列的一部分。

什么是纽结？

在拓扑学中，纽结（Knot）是三维空间中一个嵌入的圆周。简单来说，就是把一根绳子的两端连接起来形成的各种形状。

最简单的纽结是平凡纽结（Unknot），也就是一个没有打结的圆环。

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Unknotting Number 定义

Unknotting number（解结数）是指将一个纽结变为平凡纽结所需交叉变换的最小次数。

形式化定义

对于一个纽结 $K$，其 unknotting number $u(K)$ 是所有投影图中，通过改变交叉点（over/under）将 $K$ 变为 unknot 所需改变的最小交叉点数。

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例子

平凡纽结

$u(\text{Unknot})=0$

三叶结（Trefoil Knot）

三叶结是最简单的非平凡纽结，其 unknotting number 为：

$u(\text{Trefoil})=1$

八字结（Figure-Eight Knot）

$u(\text{Figure-Eight})=1$

$(p,q)$-环面纽结

对于 $(p,q)$-环面纽结，有：

$u(T_{p,q})=\frac{(p-1)(q-1)}{2}$

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性质

1. 下界：$u(K)\ge \frac{1}{2}|\sigma (K)|$，其中 $\sigma (K)$ 是纽结的签名（signature）

2. 加法性（已证伪）：$u(K_1\#K_2)=u(K_1)+u(K_2)$

   已证伪 $(2,7)$-环面纽结 $K=7_1$，有 $u(K)=u(\overline{K})=3$，但 $u(K\#\overline{K})\le 5<6$。

   2025年，Brittenham 和 Hermiller 证明了该猜想不成立。对于

3. 与交叉数的关系：$u(K)\le c(K)-1$，其中 $c(K)$ 是交叉数

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计算方法

1. 签名下界

使用纽结签名给出下界：

$u(K)\ge \frac{1}{2}|\sigma (K)|$

2. Alexander 多项式

某些情况下，Alexander 多项式可以提供信息。

3. Jones 多项式

Jones 多项式也可以用来估计 unknotting number。

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加法性的证伪

2025年6月，Mark Brittenham 和 Susan Hermiller 在论文 Unknotting number is not additive under connected sum 中给出了第一个反例：

• $(2,7)$-环面纽结 $K=7_1$ 的 unknotting number 为 $u(K)=3$
• 其镜像 $\overline{K}$ 的 unknotting number 同样为 $u(\overline{K})=3$
• 但连通和 $K\#\overline{K}$ 的 unknotting number 满足 $u(K\#\overline{K})\le 5<6=u(K)+u(\overline{K})$

这一结果否定了自1937年 Wendt 以来近一个世纪的猜想，并且由此可以构造无穷多个反例（例如对任意 $k,\ell \ge 3$，$u(T(2,2k+1)\#\overline{T(2,2\ell +1)})<u(T(2,2k+1))+u(T(2,2\ell +1))$）。

意义

这意味着 unknotting number 不像签名、3-亏格等不变量那样在连通和下表现良好，素纽结的 unknotting number 不能简单地推广到所有纽结。

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开放问题

思考

• 是否存在纽结，其 unknotting number 严格大于签名下界？
• $u(K\#K^{\prime })\ge \max \{u(K),u(K^{\prime })\}$ 是否恒成立？
• 是否每个纽结 $K$ 都存在某个 $K^{\prime }$ 使得 $u(K\#K^{\prime })<u(K)+u(K^{\prime })$？

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参考资料

• Adams, C. C. (2004). The Knot Book. American Mathematical Society.
• Livingston, C. (1993). Knot Theory. Mathematical Association of America.
• Brittenham, M. & Hermiller, S. (2025). Unknotting number is not additive under connected sum. arXiv:2506.24088

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与本系列其他文章的联系

• Seifert 曲面 — 签名下界的来源
• 经典不变量 — 数值不变量的系统讨论
• 常见纽结族 — 环面纽结的 unknotting number 公式
• 纽结理论公开问题 — Unknotting number 的计算难题

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创建于 2026-04-23