常见纽结族

本文是 纽结理论导览 系列的一部分。

为什么研究纽结族

如果只看零散例子，很难形成整体感。把常见例子放进参数化家族里看，可以：

1. 系统性定义：不是逐个背诵 knot table，而是把很多例子放在统一参数下理解
2. 可重复计算：交叉数、genus、多项式不变量等往往在家族上表现出清晰规律
3. 揭示结构性现象：例如 alternating diagrams 为什么”诚实”，torus knots 为什么总是 fibered

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第一类：Torus knots

定义

设标准嵌入的环面 $T^2\subset S^3$ 已给定。沿经线绕 $p$ 次、纬线绕 $q$ 次的简单闭曲线称为 $(p,q)$-torus knot，记作 $T(p,q)$。

• 当 $\gcd (p,q)=1$ 时，$T(p,q)$ 是 knot
• 当 $\gcd (p,q)=d>1$ 时，$T(p,q)$ 是有 $d$ 个分支的 torus link

典型例子

Torus knot	等价纽结	说明
$T(2,3)$	Trefoil $3_1$	最简单的非平凡 torus knot
$T(2,5)$	Cinquefoil $5_1$
$T(3,4)$	$8_{19}$	最小 crossing number 的非二桥 torus knot 之一
$T(1,q)$	Unknot	平凡情况

闭 braid 视角

Torus knot 有一个极重要的描述：$T(p,q)$ 可以看成 $p$ 股 braid

$({\sigma }_1{\sigma }_2\cdots {\sigma }_{p-1}{)}^q$

的闭包。尤其当 $p=2$ 时：

$T(2,2n+1)=\widehat{{\sigma }_1^{2n+1}}$

这说明 torus knot family 与 braid theory 天然相连。

不变量公式

定理 若 $p,q>0$ 且互素，则正 torus knot $T(p,q)$ 满足：

1. Genus：$g(T(p,q))=\frac{(p-1)(q-1)}{2}$
2. Crossing number：$c(T(p,q))=\min \{(p-1)q,(q-1)p\}$
3. 它是 fibered knot
4. 它是 prime knot
5. 镜像：$\overline{T(p,q)}=T(p,-q)$

计算示例

对 trefoil $T(2,3)$：$g=\frac{(2-1)(3-1)}{2}=1$，$c=\min \{1\cdot 3,2\cdot 2\}=3$。

Unknotting number

定理（Kronheimer-Mrowka） 对 $(p,q)$-torus knot：

$u(T(p,q))=\frac{(p-1)(q-1)}{2}$

与 genus 的关系

对 torus knots，$u(K)=g(K)$。这在一般纽结中并不成立。

详见 unknotting-number

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第二类：Braid closures

Braid group

$n$ 股 braid group $B_n$ 由生成元 ${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_{n-1}$ 和以下关系定义：

• ${\sigma }_i{\sigma }_j={\sigma }_j{\sigma }_i$（$|i-j|\ge 2$）
• ${\sigma }_i{\sigma }_j{\sigma }_i={\sigma }_j{\sigma }_i{\sigma }_j$（$|i-j|=1$）

一个 braid word 对应一个具体的 braid，其闭包（closure）给出一个 link。

Alexander 定理

定理（Alexander, 1923） 每个 link 都可以表示为某个 braid 的闭包。

这意味着 braid closures 是一个普遍的纽结族——不是某个特殊子类，而是所有纽结都能放进这个框架。

Markov 定理

两个 braid 的闭包给出 ambient isotopic link，当且仅当它们可以通过 Markov moves 相互转换：

1. Conjugation：$\beta \sim \alpha \beta {\alpha }^{-1}$（在 $B_n$ 中）
2. Stabilization：$\beta \in B_n\sim \beta {\sigma }_n\in B_{n+1}$

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第三类：Alternating knots

定义

一个 link diagram 称为 alternating，如果沿每个分支行走时，crossings 交替出现 over 和 under。

一个纽结称为 alternating，如果它有一个 reduced alternating diagram。

为什么 alternating knots 特别好

定理（Tait 猜想，由 Thistlethwaite、Kauffman、Muralsugi 证明）

若 $D$ 是 reduced alternating diagram，则：

1. $c(D)=c(K)$（crossing number 等于最小 crossing 数）
2. $\mathrm{span}{V}_K(t)=c(K)$（Jones polynomial 的 span 直接给出 crossing number）

这意味着对 alternating knots：

Jones polynomial 的 span 是 crossing number 的完整不变量。

Alternating knots 的 Seifert 曲面

定理（Murasugi, Crowell, Gabai） 对 alternating knots，Seifert 算法产生的标准曲面就是最小 genus 的。

因此对 alternating knots，genus 可以直接从 diagram 读出。

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第四类：Pretzel knots

定义

Pretzel link $P(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ 由 $n$ 个 tangle 并排粘合而成，第 $i$ 个 tangle 有 $a_i$ 个半 twists。

参数的拓扑意义

• $a_i$ 的奇偶性决定得到的是 knot 还是 link
• 所有 $a_i>0$ 时得到 positive pretzel
• 混合正负参数可以制造有趣的反例

典型例子

Pretzel	等价纽结	说明
$P(2,3)$	Trefoil	最简单情况
$P(2,3,5)$	$10_{124}$	非 alternating
$P(2,3,7)$		重要的例子，与 Seifert 曲面理论相关

为什么 pretzel knots 重要

Pretzel family 提供了大量可参数化计算的例子，同时又能产生很多有趣的例外和反例。它们是测试不变量、寻找反例的理想场所。

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家族之间的联系

这些家族不是互相隔离的：

• 很多 torus knots 同时也是闭 braids
• 许多 pretzel knots 是 alternating
• Trefoil 和 figure-eight knot 在整个理论中反复出现，作为不同 family 之间的连接点

阅读建议

不要把这些家族当作孤立的知识点。试着在同一个例子上同时看它的多种身份：trefoil 既是 $T(2,3)$，也是 $\widehat{{\sigma }_1^3}$，也是最简单的非平凡 alternating knot。

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与本系列其他文章的联系

• Seifert 曲面 — 各家族的 Seifert 曲面结构
• 经典不变量 — 多项式不变量在家族上的系统规律
• unknotting-number — 环面纽结的 unknotting number 公式
• 纽结理论公开问题 — 家族化研究方法

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参考文献

1. Adams, C. C. The Knot Book. AMS.
2. Lickorish, W. B. R. An Introduction to Knot Theory. Springer.
3. Rolfsen, D. Knots and Links. AMS Chelsea.
4. Murasugi, K. Knot Theory and Its Applications. Birkhäuser.
5. Birman, J. S. Braids, Links and Mapping Class Groups. Princeton University Press.

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创建于 2026-04-23